Coniques Généralisées

Définition générale d’un conique

$ \textbf{Définition 4.1}$

Une conique $\mathscr{C}$ est l’ensemble des points $M$ du plan dont le rapport des distances à un point fixe $F$ et à une droite fixe $d$ est une constante $e \quad(e>0)$

$F$ est le foyer, $d$ est la directrice et $e$ l’excentricité.

$$
M \in \mathscr{C} \Longleftrightarrow \frac{\operatorname{dist}(M, F)}{\operatorname{dist}(M, d)}=e
$$

– Si $e=1:$ la conique est une parabole.

– Si $e$1$ : la conique est une hyperbole.

Coordonnés homogènes

Soit $P$ un point du plan de coordonnées cartésiennes $(x, y)$

$ \textbf{Définition 5.1}$

$$
\text { (*) }\left\{\begin{array}{l}
x T=X \\
y T=Y
\end{array} \Longleftrightarrow \quad \frac{x}{X}=\frac{y}{Y}=\frac{1}{T} \quad \text { et } \quad(X, Y, T) \neq(0,0,0)\right.
$$

Il est immédiat que :

1. $(\lambda X, \lambda Y, \lambda T), \forall \lambda \in \mathbb{R}^{*}$ est aussi solution de (*) c’est-à-dire les coordonnées de $P$ sont définies à un facteur $\lambda(\neq 0)$ près;

2. le triplet $(x, y, 1)$ est toujours solution de $(*)$, et donc $(\lambda x, \lambda y, \lambda), \forall \lambda \in \mathbb{R}^{*}$ exprime l’ensemble des solutions de $(*)$

$$
\begin{aligned}
& \text { coordonnées cartésiennes coordonnées homogènes } \\
& P(x, y) \quad \Longleftrightarrow P(X, Y, T)=(x, y, 1)=(\lambda x, \lambda y, \lambda), \forall \lambda \in \mathbb{R}^{*} \\
& \text { uniques non uniques }
\end{aligned}
$$

On considère la droite $s=(A, B)$ de direction $\vec{v}$ et un point $M\left(x_{M}, y_{M}\right) \in s$ On s’intéresse au point à l’infini de la droite $s$, c’est-à-dire lorsque $M$ tend à l’infini dans la direction $\vec{v} \| \overrightarrow{A B}$

1. En coordonnées cartésiennes :

$M \rightarrow$ ” infini” $\Longleftrightarrow x_{M} \rightarrow \infty$ et $y_{M} \rightarrow \infty$ : les coordonnées cartésiennes ne décrivent pas les points à l’infini du plan.

2. En coordonnées homogènes :

$$
\begin{gathered}
M \rightarrow \text { ” infini” } \Longleftrightarrow\left(X_{M}, Y_{M}, T_{M}\right)=\left(\lambda\left(x_{A}-x_{B}\right), \lambda\left(y_{A}-y_{B}\right), 0\right) \\
M \text { est à l’infini } \Longleftrightarrow T_{M}=0
\end{gathered}
$$

De plus $\frac{Y_{M}}{X_{M}}=\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=m$ où $m$ est la pente de $(A B)$

Les coordonnées homogènes de $M$ à l’infini peuvent aussi s’écrire :

$$
\left(X_{M}, Y_{M}, 0\right)=\left(\lambda, \lambda \frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}, 0\right)=(\lambda, \lambda m, 0)
$$

où $\vec{v}=\left(\begin{array}{l}1 \\ m\end{array}\right)$ est la direction selon laquelle $M$ tend à l’infini.

$$
\begin{array}{lll}
\text { coordonnées cartésiennes } & & \text { coordonnées homogènes } \\
\text { direction } \vec{v}\left[\begin{array}{l}
a \\
b
\end{array}\right] & \Longleftrightarrow & \text { point à l’infini } V_{\infty} \text { tel que } \\
\text { de pente } m=\frac{b}{a} & V_{\infty}(\lambda a, \lambda b, 0)=(1, m, 0) \\
& \text { ce “point” représente la direction } \vec{v}
\end{array}
$$

$ \textbf{Remarque.}$

Toutes les droites du plan parallèles à la direction $\vec{v}\left(\begin{array}{l}1 \\ m\end{array}\right)$ ont en commun le point à l’infini dans la direction $\vec{v}$, dont les coordonnées homogènes sont $(1, m, 0)$ ou $(\lambda, \lambda m, 0), \lambda \neq 0$

Inversément, par le point à l’infini $V_{\infty}(1, m, 0)$ ou $(\lambda, \lambda m, 0), \lambda \neq 0$, passe toutes les droites du plan de direction $\vec{v}\left(\begin{array}{l}1 \\ m\end{array}\right)$

$ \textbf{Théorème 5.1}$

Les points $\dot{a}$ l’infini sont sur une droite, la droite de l’infini d’équation homogène $T=0$.

Etude générale des coniques

$ \textbf{Généralités:}$

On appelle conique une courbe du plan dont les points $M(x, y)$ sont les zéros d’un polynôme $F(x, y)$ du deuxième degré en $x$ et en $y$ à coefficients réels.

L’équation générale est :

$$
a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+2 d x+2 e y+f=F(x, y)=0
$$

Termes du deuxième degré :

$$
\left\{\begin{array}{l}
a x^{2} \\
2 b x y \\
c y^{2}
\end{array}\right.
$$

Termes du premier degré :

$$
\left\{\begin{array}{l}
2 d x \\
2 e y
\end{array}\right.
$$

Terme constant :

On pose :

$$
\begin{aligned}
X & =\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
1
\end{array}\right) \Rightarrow X^{t}=\left(\begin{array}{lll}
x & y & 1
\end{array}\right) \\
A & =\left(\begin{array}{lll}
a & b & d \\
b & c & e \\
d & e & f
\end{array}\right) \quad \text { et } A=A^{t}
\end{aligned}
$$

c’est-à-dire $A$ est symétrique Alors :

$$
F(x, y)=0 \Longleftrightarrow X^{t} A X=0 \text { avec } A \text { symétrique }
$$

On décompose $A$ en blocs en posant :

$$
B=\left(\begin{array}{ll}
a & b \\
b & c
\end{array}\right) \quad C=\left(\begin{array}{l}
d \\
e
\end{array}\right)
$$

avec

$B:$ coefficients des termes du deuxième degré en $x$ et en $y ; B=B^{t}$

$C:$ demi-coefficients des termes du premier degré en $x$ et en $y$

$$
\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cc}
B & C \\
C^{t} & f
\end{array}\right)
$$

$ \textbf{Remarque.}$

la matrice $X=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right)$ représente en fait les coordonnées du vecteur $\vec{x}=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ sous forme homogène normalisée (c’est-à-dire $T=1$ ).

Equation de la conique sous forme homogène :

$\frac{X}{T}=x, \quad \frac{Y}{T}=y$

$F(X, Y, T)=a X^{2}+2 b X Y+c Y^{2}+2 d X T+2 e Y T+f T^{2}=0 \Leftrightarrow X^{t} A X=0 \quad$ avec

$X=\left(\begin{array}{l}X \\ Y \\ T\end{array}\right)$

But :

en effectuant un changement de repère, on va simplifier cette équation afin de reconnaitre la conique :

$ \textbf{Remarque.}$

Dans le nouveau repère, la matrice associée $A^{\prime}$ est diagonale pour l’ellipse et l’hyperbole.

$ \textbf{Changement de repère :}$

1. Translation $\overrightarrow{O \Omega}:\left(O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right) \rightsquigarrow\left(\Omega, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right) X=X^{\prime}+T \quad$ où $\quad T=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta\end{array}\right)=\overrightarrow{O \Omega}$

2. Rotation de la base $\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right)$ d’un angle $\varphi:\left(\Omega, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right) \rightsquigarrow\left(\Omega, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right) X^{\prime}=P \bar{X} \quad$ où $P=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi\end{array}\right) \quad$ et $\operatorname{det} P=1$

3. Translation $\overrightarrow{O \Omega}$ suivie de la rotation d’angle $\varphi:\left(O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right) \rightsquigarrow\left(\Omega, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$

$$
X=P \bar{X}+T \Longleftrightarrow\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\cos \varphi \bar{x}-\sin \varphi \bar{y}+\alpha \\
\sin \varphi \bar{x}+\cos \varphi \bar{y}+\beta
\end{array}\right)
$$

On pose :

$$
X=\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
1
\end{array}\right) \quad \bar{X}=\left(\begin{array}{c}
\bar{x} \\
\bar{y} \\
1
\end{array}\right) \quad \text { et } \quad U=\left(\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & -\sin \varphi & \alpha \\
\sin \varphi & \cos \varphi & \beta \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$

Alors les relations algébriques entre les anciennes et les nouvelles coordonnées s’écrivent matriciellement :

$$
X=U \bar{X}
$$

On décompose $U$ en matrices blocs :

$$
U=\left(\begin{array}{ll}
P & T \\
O & 1
\end{array}\right)
$$

Alors :

1. $\operatorname{det} U=\operatorname{det} P=1$

2. $P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & \cos \varphi\end{array}\right)=P^{t}$

3. $U^{t}=\left(\begin{array}{ccc}\cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ \alpha & \beta & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}P^{t} & 0 \\ T^{t} & 1\end{array}\right)$

Effet d’un changement de repère sur l’équation d’une conique :

Equation de la conique $\Sigma$ dans $\left(O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right)=\mathscr{R}_{e} \Sigma: \quad X^{t} A X=0 \quad$ avec $\quad X=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right)$

Nouveau repère $\left(\Omega, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)=\mathscr{R}_{u}$ et matrice de passage $U$ telle que : $X=U \bar{X} \quad$ avec

$\bar{X}=\left(\begin{array}{c}\bar{x} \\ \bar{y} \\ 1\end{array}\right)$ Equation de $\Sigma$ dans $\mathscr{R}_{u}: \bar{X}^{t} A^{\prime} \bar{X}=0$ avec $A^{\prime}=U^{t} A U$ et $A^{\prime t}=A^{\prime}$ : symétrique.

$ \textbf{Remarques :}$

1. Un changement des vecteurs de la base modifie les termes du deuxième degré et ne modifie pas le terme constant.

2. Un changement d’origine modifie le terme constant et ne modifie pas les termes du deuxième degré.

Rappel :

$B=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right)$. On pose :

$\Delta=\operatorname{det} A, \quad \delta=\operatorname{det} B, \quad \sigma=\operatorname{tr} B=a+c=\operatorname{trace} \operatorname{de} B$

$ \textbf{Théorème 6.1}$

$\Delta, \delta$ et $\sigma$ sont invariants pour tout changement de base orthonormée, c’est-à-dire :

$\Delta=\operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{\prime} \delta=\operatorname{det} B=\operatorname{det} B^{\prime} \sigma=\operatorname{tr} B=\operatorname{tr} B^{\prime}$

$ \textbf{Réduction de l’équation d’une conique dans le cas}$ $\delta \neq 0$ :

– Les termes du premier degré sont éliminés $T=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta\end{array}\right)$ est la solution du système $B T+C=0 \Longleftrightarrow \Omega(\alpha, \beta)$ est l’origine du nouveau repère $\left(\Omega, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right)$

– une conique possède un centre $\Longleftrightarrow \delta \neq 0$ L’équation devient :

$$
X^{\prime t} A^{\prime} X^{\prime}=0 \Longleftrightarrow\left(x^{\prime} y^{\prime}\right) B\left(\begin{array}{c}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right)+H=0
$$

b) Elimination du terme en $x^{\prime} y^{\prime}$

On considère le changement de base $\left(\Omega, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}\right)$ à $\left(\Omega, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$

On obtient l’équation dans $\left(\Omega, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$

$$
(\bar{x} \bar{y}) P^{t} B P\left(\begin{array}{c}
\bar{x} \\
\bar{y}
\end{array}\right)+H=0 \quad \text { où } \quad B^{\prime}=P^{t} B, P=P^{-1} B P \quad \text { car } \quad P^{t}=P^{-1}
$$

$B$ étant symétrique, elle est diagonalisable et il existe une base propre $\left(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$ orthonormée directe. Soit $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ ses valeurs propres, on peut alors montrer le résultat suivant :

les sous-espaces vectoriels propres de $B, E\left(\lambda_{1}\right)$ et $E\left(\lambda_{2}\right)$ sont parallèles aux axcs de la coniquc.

Ainsi la base $\left(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$ coincide avec la base propre orthonormée de $B$, c’est-à-dire

$$
\overrightarrow{u_{1}} \in E\left(\lambda_{1}\right), \overrightarrow{u_{2}} \in E\left(\lambda_{2}\right)
$$

et $P$ est la matrice de passage.

L’équation de la conique dans le repère $\left(\Omega, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$ devient :

$\lambda_{1} \bar{x}^{2}+\lambda_{2} \bar{y}^{2}+H=0 \quad$ : équation réduite de la conique lorsque $\delta \neq 0$ On a dans le repère $\left(\Omega, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$ que $A^{\prime}$ est diagonale :

$$
A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & H
\end{array}\right) \quad \text { où } \quad H=\frac{\Delta}{\delta}
$$

On calcule $H$ grâce aux invariants :

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\delta=\operatorname{det} B=\operatorname{det} B^{\prime}=\lambda_{1} \lambda_{2} \neq 0 \\
\Delta=\operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{\prime}=\lambda_{1} \lambda_{2} H
\end{array}\right. \\
& \Rightarrow H=\frac{\Delta}{\delta}
\end{aligned}
$$

$\unrhd$ Discussion de l’équation réduite dans le cas $\delta \neq 0$ :

$$
A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{1} \bar{x}^{2}+\lambda_{2} \bar{y}^{2}+H=0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\lambda_{2} & 0
\end{array}\right) \quad, \quad B^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}
\lambda_{1} & 0 \\
0 & \lambda_{2}
\end{array}\right)
$$

$\Delta=\operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{\prime}=\lambda_{1} \lambda_{2} H$

$\delta=\operatorname{det} B=\operatorname{det} B^{\prime}=\lambda_{1} \lambda_{2} \neq 0$

$\sigma=\operatorname{tr} B=\operatorname{tr} B^{\prime}=\lambda_{1}+\lambda_{2}$

ler cas : $\Delta \neq 0 \Longleftrightarrow H \neq 0$

On divise par $(-H)$ l’équation réduite :

$$
\frac{\bar{x}^{2}}{-H / \lambda_{1}}+\frac{\bar{y}^{2}}{-H / \lambda_{2}}-1=0
$$

$ \textbf{Discussion :}$

– Si $\{\begin{array}{l}\lambda_{1}, \lambda_{2}>0 \text { c’est-à-dire } \delta>0 \\ H$< $0\end{array} \quad.$ ou $\quad$ si $\{\begin{array}{l}\lambda_{1}, \lambda_{2}$0 \\ H>0\end{array}.$ alors la conique est une ellipse réelle ; $\operatorname{car}-\frac{H}{\lambda_{1}}>0$ et $-\frac{H}{\lambda_{2}}>0$

Par convention, on choisit $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ tels que $-\frac{H}{\lambda_{1}}>-\frac{H}{\lambda_{2}}$ $a^{2}=-\frac{H}{\lambda_{1}}, b^{2}=-\frac{H}{\lambda_{2}}$, et par suite : $E\left(\lambda_{1}\right) \|$ grand axe et $E\left(\lambda_{2}\right) \|$ petit axe

– si $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ et $H$ sont de même signe, alors la conique est une “ellipse dite imaginaire”.

– $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ sont de signes contraires, c’est-à-dire $\delta$0$ et $-\frac{H}{\lambda_{2}}$< $0$

Ainsi : $E\left(\lambda_{1}\right) \|$ axe réel et $E\left(\lambda_{2}\right) \|$ axe imaginaire.

Remarque.

lorsque $\delta$0$ : ellipse (éventuellement imaginaire).

$\delta$< $0$ : hyperbole.

$ \textbf{Réduction et discussion dans le cas}$ $\delta=0$ :}

On veut obtenir la forme canonique $\bar{y}^{2}=2 p \bar{x}$ dans le repère $\left(S, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$, où $S$ est le sommet de la parabole, $\overrightarrow{u_{1}}$ : direction axe de la parabole, $\overrightarrow{u_{1}}$ dans la concavité et $\left\|\overrightarrow{u_{1}}\right\|=1$ et $\overrightarrow{u_{2}}$ tel que $\left(\overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$ direct, $\left\|\overrightarrow{u_{2}}\right\|=1$

Or : $\delta=0 \Leftrightarrow$ la conique n’a pas de centre de symétrie permettant d’enlever les termes du premier degré, donc pas de translation évidente.

$B$ étant symétrique, il existe donc une base orthonormée $\left(O, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$ formée de vecteurs propres de $B$, où $\overrightarrow{u_{1}}$ et $\overrightarrow{u_{2}}$ sont tels que l’angle entre $\overrightarrow{e_{1}}$ et $\overrightarrow{u_{1}}$ est $\varphi$

$\Rightarrow \overrightarrow{u_{1}}=\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \sin \varphi\end{array}\right), \overrightarrow{u_{2}}=\left(\begin{array}{c}-\sin \varphi \\ \cos \varphi\end{array}\right)$

$ \textbf{Discussion et réduction}$

On obtient $\Delta=-d^{\prime 2} \cdot \lambda_{2}$ avec $\lambda_{2} \neq 0$

1 er cas :

$d^{\prime}=0 \Leftrightarrow \operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{\prime}=\Delta=0$

La parabole dégénère en deux droites (parallèle ou confondues, réelles ou imaginaires)

2ème cas :

$d^{\prime} \neq 0 \Leftrightarrow \Delta \neq 0$

On considère la nouvelle origine $S$ et donc le nouveau repère $\left(S, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$ et on obtient l’équation d’une parabole (du type $\left.\bar{y}^{2}=2 p \bar{x}\right)$ dans $\left(S, \overrightarrow{u_{1}}, \overrightarrow{u_{2}}\right)$

L’équation obtenue : $\lambda_{2} \bar{y}^{2}+2 d^{\prime} \bar{x}=0$ est appelée équation réduite.

Dans ce nouveau repère $A^{\prime}$ s’écrit :

$$
A^{\prime}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & d^{\prime} \\
0 & \lambda_{2} & 0 \\
d^{\prime} & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

On peut alors montrer :

$\checkmark \overrightarrow{u_{1}} \in E(0)$ et est la direction de l’axe (mais il reste à choisir son sens) $-\overrightarrow{u_{2}} \in E\left(\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{2} \neq 0\right), \overrightarrow{u_{2}} \perp \overrightarrow{u_{1}}$, et est la direction de la tangente au sommet

– $S$ est le sommet de la parabole.

$$
\text { On a } d^{\prime 2}=-\frac{\Delta}{\lambda_{2}}
$$

$ \textbf{Convention :}$

On choisit le signe de $d^{\prime}$ de telle manière que $-\frac{2 d^{\prime}}{\lambda_{2}}>0$ pour que $\overrightarrow{u_{1}}$ soit à l’intérieur de la concavité de la parabole.

En résumé :

$$
\left\{\begin{array} { l }
{ \delta = 0 } \\
{ \Delta \neq 0 }
\end{array} \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
\lambda_{1}=0, \lambda_{2} \neq 0 \\
\text { la conique est une parabole non dégénérée }
\end{array}\right.\right.
$$