4.7 Exercices

4.1 Définition

Exercice Rappel sur la méthodologie pour la détermination d’un sous-espace vectoriel

Exercice Sous-ensemble issu d’opérations linéaires et ne contenant pas l’élément nul

Exercice Sous-ensemble qui vérifie les 3 conditions d’un sous-espace vectoriel

Exercice Sous-ensemble défini par 2 conditions et ne contenant pas l’élément nul de R3

Exercice Sous-ensemble défini par 2 conditions et vérifiant les conditions d’un sous-espace vectoriel

Exercice Sous-ensemble définissant un cercle dans le plan Oxy

Exercice Le sous-ensemble défini par 2 droites se croisant à l’origine

Exercice Détermination des sous-ensembles de R2 qui sont des sous-espaces vectoriels

Exercice Indépendance linéaire d’un sous-ensemble de vecteurs linéairement indépendants

4.2 Applications

Exercice Lien entre dimension des espaces de départ et d’arrivée ET l’injectivité d’une application linéaire

Exercice Lien entre subjectivité d’une application linéaire et transmission de l’indépendance d’une famille de vecteurs de l’espace de départ à l’espace d’arrivée

4.3 Noyau et Image d’une application

Exercice Définition approfondie de l’ensemble Image d’une matrice A

Exercice Détermination de la plus petite valeur de la dimension du Kernel de A

Exercice Famille génératrice du Noyau d’une application T

Exercice Famille génératrice de l’ensemble Image d’une application T

4.4 Base d’un (sous-)espace vectoriel

Exercice Base de 4 vecteurs dépendante d’un paramètre

Exercice Appartenance d’un vecteur à une base conditionnée par un paramètre

Exercice Base de l’ensemble des solutions d’un produit matrice-vecteur égal à un multiple du vecteur

Exercice Matrices de changement pour une application linéaire T de R4 dans R4

Exercice Equivalence de 2 matrices à l’aide de l’échelonnage

Exercice Calcul du rang et de la dimension du noyau de deux matrices ligne-équivalentes

Exercice Base du Noyau de deux matrices ligne-équivalentes

Exercice Rappels théoriques pour l’analyse des bases de Col(A),Ker(A) et Lgn(A)

Exercice Echelonnage et réduction de la matrice A pour trouver les bases de Col(A), Ker(A) et Lgn(A)

Exercice Lien entre dimension d’un espace vectoriel et nombre de vecteurs requis pour engendrer un espace vectoriel

Exercice Matrice M associée à l’application linéaire T avec les vecteurs arguments en base E et le vecteur image en base B

Exercice Matrice M associée à l’application linéaire T avec les vecteurs arguments en base B et le vecteur image en base E

Exercice Matrice M associée à l’application linéaire T avec les vecteurs arguments en base B et le vecteur image en base B

Exercice Expression d’une matrice dans la base des matrices symétriques de dimension 2×2

Exercice Rang d’une matrice dont au moins 3 colonnes sont linéairement dépendantes

Exercice Expression d’une matrice M permettant d’exprimer l’image d’un vecteur par une application T dans un base C

4.5 Étude des Transformations Linéaires

Exercice transformation linéaire

Exercice exemple transformation non linéaire et démo

Exercice matrices canoniques dans transformations linéaires

Exercice Surjectivite et injectivite

Exercice Détermination de la base de l’espace engendré par l’image d’une application linéaire dont on connait l’expression

Exercice Détermination d’une base de l’espace engendré par une application linéaire avec les valeurs des images de la base canonique de R4

4.6 Factorisation Matricielle et Décomposition LU

Exercice Méthodologie et contraintes pour la décomposition LU d’une matrice

Exercice Décomposition LU de la matrice

Exercice Méthodologie de Résolution d’une systeme d’équations simplifiée a l’aide de la décomposition LU

Exercice Résolution de Ly = b

Exercice Résolution de Ux = y

Exercice Décomposition LU d’une matrice 3×3 et coefficient l32

Exercice Décomposition LU d’une matrice 3×3 avec matrice L intégrale

Exercice Factorisation LU d’une matrice 3×3

Décomposition QR

Exercice Supplémentaire

Exercice Composées d’applications linéaires

Exercice Composantes d’un vecteur relativement à une base

Exercice Composantes d’un vecteur relativement à une base

Exercice Bases de Ker(A) et Im(A)

Exercice Matrice associée à une application linéaire

Exercice Bases de P3

Exercice Application linéaire et matrice associée

Exercice Application injective, surjective, bijective

Exercice Im et Ker d’une matrice

Exercice Démo application T linéaire et bijection

Exercice Montrer si T est linéaire

Exercice Base de noyau et image

Exercice Calcul de rang

Exercice Calcul d’inverse par opérations élémentaires

Exercice Démo propriété du rang et inverse

Exercice Changement de base et expression d’un vecteur d’une base à l’autre

Exercice Changement de base dans les polynômes réels de degré 2

Exercice Exprimer T en base canonique pour savoir l’application représentée

Exercice Verifier si des polynômes sont linéairement indépendants et forment une base

Exercice Vérifier si une famille de fonction est liée et si une application de fonction est linéaire

Exercice Trouver une base pour Ker(A) et Col(A)

Exercice Bases avec des matrices et matrices libres

Exercice Exprimer les coordonnées dans d’autres bases

Exercice Bases de l’image et du noyau d’un transformation

Exercice Dimension d’un ensemble

Exercice Démontrer l’existence d’un sous espace

Exercice Trouver la base d’un sous espace

Exercice Dimension d’un sous espace plus complexe

Exercice Montrer qu’une famille forme une base

Exercice Exprimer les coordonnées d’un polynôme dans une base

Exercice Trouver la matrice canonique et analyse la surjéctivité et l’injectivité

Exercice Trouver la matrice canonique et analyse la surjéctivité et l’injectivité

Exercice Trouver la matrice canonique et analyse la surjéctivité et l’injectivité

Exercice Matrice d’une transformation depuis une base canonique vers une base quelconque

Exercice Matrice d’une transformation depuis une base quelconque vers une base canonique

Exercice Matrice d’une transformation depuis une base quelconque vers une base quelconque

Exercice Détecter si une application de réfléxion est injective ou surjective sans calcul

Exercice Détecter si une application de projection orthogonale est injective ou surjective sans calcul

Exercice Détecter si une application de rotation est injective ou surjective sans calcul

Exercice Composition de deux rotations d’angle

Exercice Matrices canoniques associées aux transformations doubles

Exercice Produits matriciels et dimensions des espaces de départ et d’arrivée

Exercice Trouver B telle que AB égal à 0

Exercice Inverse d’une matrice 2×2

Exercice Inverser une matrice avec un coefficient inconnu

Exercice Inverser une matrice avec un coefficient inconnu

Exercice Déterminer si une matrice est inversible grace au théorème des critères d’inversibilités

Exercice Trouver les matrcices associées aux opérations élémentaires

Exercice Inverser une matrice 2×2 et trouver sa factorisation LU

Exercice Décomposition LU d’une matrice 3×3

Exercice Résolution de Ax egal b avec la décomposition LU

Exercice Trouver la décomposition LU d’un matrice avec un zéro sur un pivot

Exercice Trouver la solution de LUx egal Pb

Exercice Exprimer un polynôme dans une autre base

Exercice Exprimer une application linéaire dans une autre base

Exercice Simplifier l’expression de A exposant k

Exercice Système 3×3 en fonction d’un paramètre

Exercice Système 2×2 en fonction d’un paramètre

Exercice Equation vectorielle

Exercice Appartenance d’un vecteur à un sous espace

Exercice Déterminer si un espace est un SEV (R3)

Exercice Déterminer si un espace est un SEV (Polynomes)

Exercice Déterminer si une famille est libre ou liée

Exercice Famille qui génèrent Rn

Exercice Dépendance linéaire (matrice)

Exercice Dépendance linéaire polynômes

Exercice Applications Injectives / Surjectives

Exercice Applications Injectives / Surjectives

Exercice Exemple de vrai:faux sur les applications linéaires