AL – Opérations sur matrices

Le déterminant d’une matrice carrée

Le déterminant de la matrice $A \in M_{2}(\mathbb{R})$ est un scalaire $\operatorname{det}(A) \in \mathbb{R}$, il se note :

$\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right|$ et est définit par $\operatorname{det}(A)=a d-b c$, où $A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]$

Le déterminant de la matrice $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ est un scalaire $\operatorname{det}(A) \in \mathbb{R}$, il se note

$$
\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & \ldots & a_{2 n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & \ldots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

Il est donné par $\operatorname{det}(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{i j}(-1)^{i+j} \operatorname{det}\left(A_{i j}\right)$

Où $A_{i j}$ la matrice carrée de taille $n-1$ obtenue en supprimant dans $A$ la ligne $i$ et la colonne $j$.

Technique de calcul

Pour développer un déterminant d’ordre $n$ sous la forme d’une somme de $n$ déterminants d’ordre $n-1$, suivant une ligne ou suivant une colonne. On développera les $n$ déterminants d’ordre $n-1$ sous la forme d’une somme de $n-1$ déterminants d’ordre $n-2$. On continue jusqu’à obtenir des sommes de déterminants d’ordre 2 que l’on sait calculer. Ci-après la technique de calcul le déterminant de dimension 3 :

Le développement en ligne ou en colonne :

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
a\left|\begin{array}{ll}
e & f \\
h & k
\end{array}\right|-d\left|\begin{array}{ll}
b & c \\
h & k
\end{array}\right|+g\left|\begin{array}{ll}
b & c \\
e & f
\end{array}\right| \\
\text { (développement par rapport à la première colonne) }
\end{array}\right. \\
& \left\{-b\left|\begin{array}{ll}
d & f \\
g & k
\end{array}\right|+e\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
g & k
\end{array}\right|-h\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
d & f
\end{array}\right|\right. \\
& \text { (développement par rapport à la deuxième colonne) } \\
& c\left|\begin{array}{ll}
d & e \\
g & h
\end{array}\right|-f\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
g & h
\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
d & e
\end{array}\right| \\
& \text { (développement par rapport à la troisième colonne) }
\end{aligned}
$$

et de la même façon

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{lll}
(+) a & (-) b & (+) c \\
(-) d & (+) e & (-) f \\
(+) g & (-) h & (+) k
\end{array}\right|= \\
& a\left|\begin{array}{ll}
e & f \\
h & k
\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{ll}
d & f \\
g & k
\end{array}\right|+c\left|\begin{array}{ll}
d & e \\
g & h
\end{array}\right| \\
& \text { (développement par rapport à la première ligne) } \\
& -d\left|\begin{array}{ll}
b & c \\
h & k
\end{array}\right|+e\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
g & k
\end{array}\right|-f\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
g & h
\end{array}\right| \\
& \text { (développement par rapport à la deuxième ligne) } \\
& g\left|\begin{array}{ll}
b & c \\
e & f
\end{array}\right|-h\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
d & f
\end{array}\right|+k\left|\begin{array}{ll}
a & b \\
d & e
\end{array}\right| \\
& \text { (développement par rapport à la troisième ligne) }
\end{aligned}
$$

$\textbf{Exemple 3.1}$ Soit $A=\left[\begin{array}{ccc}-2 & 2 & -3 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -1\end{array}\right]$, alors :

$$
\begin{aligned}
\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}
-2 & 2 & -3 \\
-1 & 1 & 3 \\
2 & 0 & -1
\end{array}\right| & =(-2)\left|\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
0 & -1
\end{array}\right|-(2)\left|\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\
2 & -1
\end{array}\right|+(-3)\left|\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right| \\
& =(-2)[(1)(-1)-(3)(0)]+(-2)[(-1)(-1)-(2)(3)]+ \\
& =(-2)(-1)-(2)(-5)+(-3)(-2) \\
& =2+10+6=18
\end{aligned}
$$

Les 3 Opérations élémentaires (OE) sur les lignes et les colonnes

À partir de maintenant, on note $C_{i}$ (resp. $L_{i}$ ) la $i^{e}$ colonne(resp. ligne) d’une matrice

Définition 3.2: opérations élémentaires sur les lignes (colonnes)

Échanger deux lignes (colonnes).

Multiplier tous les coefficients d’une ligne (colonne) par une constante non nulle.

$\textbf{Propriétés:}$

Le symbole $\rightleftharpoons$ définit l’échange entre 2 lignes (ou colonnes)

On ne change pas un déterminant en ajoutant à une colonne (resp. ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (resp. lignes )

(opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes)

$\forall \lambda, \mu \in \mathbb{R}:$

$\left|\begin{array}{ccccccccc}a_{11} & \ldots & a_{1 j} & \ldots & a_{i k} & \ldots & a_{1 t} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & \ldots & a_{2 j} & \ldots & a_{2 k} & \ldots & a_{2 t} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & \ldots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n j} & \ldots & a_{n k} & \ldots & a_{n t} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccccc}a_{11} & \ldots & a_{1 j}+\lambda a_{1 k}+\mu a_{1 t} & \ldots . & a_{i k} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & \ldots & a_{2 j}+\lambda a_{2 k}+\mu a_{2 t} & \ldots & a_{2 k} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n j}+\lambda a_{n k}+\mu a_{n t} & \ldots & a_{n k} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|$

$C_{j} \rightleftharpoons C_{j}+\lambda C_{k}+\mu C_{t} \Longrightarrow$ Ce changement n’affecte pas la valeur du déterminant.

On multiple le déterminant par -1 si on inverse deux colonnes (lignes) du déterminant.

$$
\begin{aligned}
& C_{i} \rightleftharpoons C_{j} \Longrightarrow \operatorname{det}(A)=-\operatorname{det}\left(A^{\prime}\right) \\
& L_{i} \rightleftharpoons L_{j} \Longrightarrow \operatorname{det}(A)=-\operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)
\end{aligned}
$$

où $A^{\prime}$ est la matrice après l’opération.

On multiple le déterminant par $k$ si on multiplie une colonne (ligne) d’un déterminant par $k \in \mathbb{R}$.

$$
C_{i} \rightleftharpoons K \cdot C_{i} \Longrightarrow \operatorname{det}\left(A^{\prime}\right)=k \cdot \operatorname{det}(A)
$$

où $A^{\prime}$ est la matrice obtenue à partir de $A$ en multipliant le colonne $C_{i}$ par $k$.

Le déterminant d’une matrice est nul si tous les éléments d’une ligne (colonne) du déterminant sont nuls. Aussi :

$$
\begin{array}{ll}
\exists C_{i}, C_{j} ; & C_{i}=C_{j} \Longrightarrow \operatorname{det}(A)=0 . \\
\exists L_{i}, L_{j} ; & L_{i}=L_{j} \Longrightarrow \operatorname{det}(A)=0 .
\end{array}
$$

$\textbf{Exemple 3.2}$
Soit

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 9
\end{array}\right] \Rightarrow \operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -3 \\
0 & 0 & 0 \\
2 & -1 & 9
\end{array}\right|
$$

En calculant le déterminant par la deuxième ligne, on obtient $\operatorname{det}(A)=0$.

$\textbf{Exemple 3.3}$ Soit le déterminant de la matrice $A: \operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{lll}2 & 3 & -1 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & 3 & -1\end{array}\right|$

On ajoute $-L_{3}$ à $L_{1}$ (i.e. $\left.L_{1} \rightleftharpoons L_{1}-L_{3}\right)$, on obtient :

$$
\operatorname{det}(A)=\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & -2 \\
2 & 3 & -1
\end{array}\right|=0
$$

Le déterminant est linéaire par rapport à chacune de ses colonnes ou de ses lignes : pout tout $1 \leq j \leq n$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ :

$\left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & \ldots & \lambda a_{1 j}+\mu b_{1 j} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & \lambda a_{n j}+\mu b_{n j} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & \ldots & \lambda a_{1 j} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & \lambda a_{n j} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & \ldots & \mu b_{1 j} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & \mu b_{n j} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|$

Aussi pour tout $1 \leq i \leq n$ :

$\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{i 1}+\mu b_{i 1} & \ldots & \lambda a_{i n}+\mu b_{i n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{i 1} & \ldots & \lambda a_{i n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ \mu b_{i 1} & \ldots & \mu b_{i n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \ldots & a_{n n}\end{array}\right|$

$\textbf{Exemple 3.4}$On $a$ :

$$
\underbrace{\left|\begin{array}{cc}
2+3 & 2 \\
5+2 & 1
\end{array}\right|}_{=-9}=\underbrace{\left|\begin{array}{ll}
2 & 2 \\
5 & 1
\end{array}\right|}_{=-8}+\underbrace{\left|\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
2 & 1
\end{array}\right|}_{=-1}, \quad \underbrace{\left|\begin{array}{cc}
2+3 & 2+1 \\
5 & 1
\end{array}\right|}_{=-10}=\underbrace{\left|\begin{array}{cc}
2 & 2 \\
5 & 1
\end{array}\right|}_{=-8}+\underbrace{\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
5 & 1
\end{array}\right|}_{=-2}
$$

Si $A=\left[a_{i j}\right] \in M_{n}(\mathbb{R})$ est une matrice carrée triangulaire ou diagonale alors :

$$
\operatorname{det}(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{i i}
$$

Les opérations sur des déterminants :

Soient $A, B \in M_{n}(\mathbb{R})$ et $r \in \mathbb{R}$, alors :

$\operatorname{det}(r \cdot A)=r^{n} \cdot \operatorname{det}(A)$

$\operatorname{det}\left(A^{T}\right)=\operatorname{det}(A)$.

L’inverse d’une matrice carrée

On dit qu’une matrice carrée $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ est inversible s’il existe une matrice $B \in M_{n}(\mathbb{R})$ telle que

$$
A B=B A=\mathbb{I}_{n}
$$

On dit que $B$ est la matrice inverse de $A$, et on note $B=A^{-1}$. Donc

$$
A A^{-1}=A^{-1} A=\mathbb{I}_{n} .
$$

Une matrice carrée qui n’est pas inversible est dite non inversible ou singulière

$\textbf{Exemple 4.1}$ On trouve évident que $\mathbb{I}_{n} \mathbb{I}_{n}=\mathbb{I}_{n}$. Donc, $\mathbb{I}_{n}^{-1}=\mathbb{I}_{n}$.

$$
\mathbb{I}_{n} \mathbb{I}_{n}=\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}\right] .
$$

$\textbf{Exemple 4.2}$ Soit $A=\left[\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -3 & -7\end{array}\right]$ et $B=\left[\begin{array}{cc}-7 & -5 \\ 3 & 2\end{array}\right]$, on $a$ :

$$
\begin{aligned}
& A B=\left[\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
-3 & -7
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
-7 & -5 \\
3 & 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right] \\
& \left.B A=\left[\begin{array}{cc}
-7 & -5 \\
3 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
-3 & -7
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\right\} \Rightarrow B=A^{-1} .
\end{aligned}
$$

Calculer l’inverse d’une matrice carrée

$\textbf{Théorème 4.1}$ Soit $A \in M_{n}(\mathbb{R}), A$ est inversible si et seulement si

$$
\operatorname{det}(A) \neq 0 .
$$

$\textbf{Théorème 4.2}$ Si $A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R})$ et $\operatorname{det}(A) \neq 0$, on a :

$$
A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \cdot\left[\begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a
\end{array}\right]
$$

$\textbf{Démonstration}$ On cherchera une matrice carrée $B \in M_{2}(\mathbb{R})$ telle que

$$
A B=B A=\mathbb{I}_{2}
$$

On pose $: B=\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & t\end{array}\right] \Rightarrow A B=\left[\begin{array}{ll}a x+b z & a y+b t \\ c x+d z & c y+d t\end{array}\right]$

$A B=\mathbb{I}_{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{ll}a x+b z & a y+b t \\ c x+d z & c y+d t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a x+b z=1 \\ c x+d z=0 \\ a y+b t=0 \\ c y+d t=1\end{array}\right.$

Alors on obtient deux systèmes de deux équations :

$$
\text { (I) }:\left\{\begin{array}{l}
a x+b z=1 \\
c x+d z=0
\end{array},(\mathrm{II}):\left\{\begin{array}{l}
a y+b t=0 \\
c y+d t=1
\end{array}\right.\right.
$$

Ces deux systèmes admettent une unique solution puisque $a d \neq b c$.

Après calcul on a : $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{d}{\operatorname{det}(A)} \\ z=\frac{-c}{\operatorname{det}(A)}\end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{-b}{\operatorname{det}(A)} \\ t=\frac{a}{\operatorname{det}(A)}\end{array}\right.$

Ainsi, $B=\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{\operatorname{det}(A)} & \frac{-b}{\operatorname{det}(A)} \\ \frac{-c}{\operatorname{det}(A)} & \frac{a}{\operatorname{det}(A)}\end{array}\right]=\frac{1}{\operatorname{det} A} \cdot\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$.

matrice cofacteur

On appelle matrice des cofacteurs (ou comatrice) d’une matrice $A \in M_{n}(\mathbb{R})$, et on note $\operatorname{com}(A)$, la matrice de coefficients

$$
c_{i j}=(-1)^{i+j} \operatorname{det}\left(A_{i j}\right)
$$

où $A_{i j}$ est la matrice carrée de dimension $n-1$ obtenue en supprimant dans $A$ la ligne $i$ et la colonne $j$.

$\textbf{Exemple 4.3}$ Soit $B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & -1\end{array}\right]$

$$
\operatorname{com}(B)=\left[\begin{array}{ccc}
+\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-4 & -1
\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
-1 & -1
\end{array}\right| & +\left|\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & -4
\end{array}\right| \\
-\left|\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
-4 & -1
\end{array}\right| & +\left|\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-1 & -1
\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & -4
\end{array}\right| \\
+\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right| & -\left|\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
0 & 2
\end{array}\right| & +\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right|
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
7 & -2 & 1 \\
-10 & 2 & 2 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right]
$$

$\textbf{Théorème 4.3}$ Si $A \in M_{n}(\mathbb{R})$ est inversible alors :

$$
A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \cdot(\operatorname{com}(A))^{T}
$$
$\textbf{Exemple 4.4}$ Pour la matrice $B$ de l’exemple précédent on trouve :

$$
\operatorname{det}(B)=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
-1 & -4 & -1
\end{array}\right|=(0)\left|\begin{array}{cc}
2 & 3 \\
-4 & -1
\end{array}\right|+(1)\left|\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-1 & -1
\end{array}\right|-(2)\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & -4
\end{array}\right|=6
$$

alors $B$ est inversible, sa matrice inverse est:

$$
B^{-1}=\frac{1}{6} \cdot\left[\begin{array}{ccc}
7 & -2 & 1 \\
-10 & 2 & 2 \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right]^{T}=\frac{1}{6} \cdot\left[\begin{array}{ccc}
7 & -10 & 1 \\
-2 & 2 & -2 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
\frac{7}{6} & \frac{-10}{6} & \frac{1}{6} \\
\frac{-2}{6} & \frac{2}{6} & \frac{-2}{6} \\
\frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{1}{6}
\end{array}\right]
$$

Propriétés

Si $A$ est une matrice inversible, alors $A^{-1}$ est inversible et :

$$
\left(A^{-1}\right)^{-1}=A
$$

Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles dans $M_{n}(\mathbb{R})$, alors $A B$ est inversible, et l’inverse de $A B$ est

$$
(A B)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}
$$

Si $A$ est une matrice inversible, alors $A^{T}$ l’est aussi, et l’inverse de $A^{T}$ est la transposée de $A^{-1}$. Autrement dit,

$$
\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}
$$

La matrice inverse par l’algorithme du pivot de Gauss

On crée un tableau avec à gauche la matrice à inverser, et à droite la matrice identité. On réalise ensuite une suite d’opérations élémentaires sur la matrice à inverser pour la ramener à l’identité. La même suite d’opérations élémentaires effectuée sur la matrice identité donne l’inverse de la matrice de départ.

$\textbf{Exemple 4.4 Inversons la matrice}$
$$
\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{array}\right) .
$$

L’algorithme précédent donne :

$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \\
& \begin{array}{c}
L_{2}-L_{1} \rightarrow L_{2} \\
L_{3}-2 L_{1} \rightarrow L_{3}
\end{array}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & -1 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& L_{3}+L_{2} \rightarrow L_{3}\left(\begin{array}{ccl}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -4
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
-3 & 1 & 1
\end{array}\right) \\
& \frac{-1}{4} L_{3} \rightarrow L_{3}\left(\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rcl}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
3 / 4 & -1 / 4 & -1 / 4
\end{array}\right) \\
& \begin{array}{c}
L_{1}-2 L_{3} \rightarrow L_{1} \\
L_{2}+L_{3} \rightarrow L_{2}
\end{array}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrl}
-1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\
-1 / 4 & 3 / 4 & -1 / 4 \\
3 / 4 & -1 / 4 & -1 / 4
\end{array}\right) \\
& L_{1}-L_{2} \rightarrow L_{1}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-1 / 4 & -1 / 4 & 3 / 4 \\
-1 / 4 & 3 / 4 & -1 / 4 \\
3 / 4 & -1 / 4 & -1 / 4
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

La matrice inverse est donc

$$
\left(\begin{array}{ccl}
-1 / 4 & -1 / 4 & 3 / 4 \\
-1 / 4 & 3 / 4 & -1 / 4 \\
3 / 4 & -1 / 4 & -1 / 4
\end{array}\right)
$$

Systèmes linéaires, propriétés, résolution

Une équation linéaire à $n$ inconnues à coefficients dans $\mathbb{R}$ : est une relation du type :

$$
a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\ldots+a_{n} x_{n}=b
$$

où tous les symboles représentent des éléments de $\mathbb{R}$. Les constantes $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ sont les coefficients de l’équation. les symboles $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ sont désignés comme les inconnues de l’équation.

Un système linéaire $m \times n$ : est une famille de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

Où $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ sont les inconnues et les nombres $a_{i j},(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ sont les coefficients du système.

Résoudre $(\star)$, c’est décrire toutes les listes $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ (s’il y en a ) qui satisfont les $m$ relations de $(\star)$.

$\textbf{Exemple 1.1}$ Résoudre le système :

$\left(S_{1}\right) \begin{cases}x_{1}-x_{2}=-1 & \text { ‥ droite } \alpha \\ 2 x_{1}+3 x_{2}=8 & \text { … droite } \beta\end{cases}$

$\textbf{Exemple 1.2}$ Résoudre le système:

$\left(S_{2}\right)\left\{\begin{array}{cc}x_{1}-x_{2}=-1 & \text {… droite } \alpha \\ 2 x_{1}-2 x_{2}=-2 & \text {… droite } \beta\end{array}\right.$

$\textbf{Exemple 1.3}$ Résoudre le système:

$\left(S_{3}\right)\left\{\begin{array}{cc}x_{1}-x_{2}=-1 & \ldots \text { droite } \alpha \\ x_{1}-x_{2}=0 & \text {… droite } \beta\end{array}\right.$

$\textbf{Exemple 1.4}$Résoudre le système:

$\left(S_{3}\right)\left\{\begin{array}{cc}x_{1}+x_{2}+x_3=1 & \ldots \text { Plan } \alpha \\ 2x_{1}-x_{2}=0 & \text {… Plan } \beta\end{array}\right.$

$\textbf{Exemple 1.5}$

$\left(S_{5}\right)\left\{\begin{array}{cc}x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 & \text {… Plan } \alpha \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=7 & \text {..P Plan } \beta\end{array}\right.$

$\textbf{Théorème 1.1}$ (Sur le nombre de solutions d’un système linéaire)

Tout système linéaire $m \times n$ possède :

Soit exactement une solution,

Soit une infinité de solutions.

$\textbf{Démonstration}$: Supposons que $(\star)$ le système linéaire $m \times n$ ( vu plus haut) possède deux solutions distinctes, que l’on note $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ et $\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$.

On a donc

$$
\begin{aligned}
\forall j=1,2, \ldots, m: & a_{j 1} x_{1}+\ldots+a_{j n} x_{n}=b_{j} \\
& a_{j 1} y_{1}+\ldots .+a_{j n} y_{n}=b_{j}
\end{aligned}
$$

Soit $\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ définit comme suit

$$
\forall k=1,2, \ldots, m: z_{k}:=x_{k}+t\left(y_{k}-x_{k}\right)
$$

où $t \in \mathbb{R}^{*}$ est fixé arbitraire.

$\underline{\text { A voir : }}$

$\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\right)$ est aussi une solution de $(\star)$.

$\textbf{Remarque}$ : Si $t \neq 0$ et $t \neq 1:\left(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}\right)$ est distincte de $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ et $\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)$ !

$\forall j=1, . ., m$ on calcule :

$$
\begin{aligned}
& a_{j 1} z_{1}+a_{j 2} z_{2}+\ldots+a_{j n} z_{n} \ldots(*) \\
& *=a_{j 1}\left(x_{1}+t\left(y_{1}-x_{1}\right)\right)+a_{j 2}\left(x_{2}+t\left(y_{2}-x_{2}\right)\right)+\ldots+a_{j n}\left(x_{n}+t\left(y_{n}-x_{n}\right)\right) \\
&=(\underbrace{a_{j 1} x_{1}+a_{j 2} x_{2}+\ldots a_{j n} x_{n}}_{=b_{j}})+t(\underbrace{a_{j 1} y_{1}+a_{j 2} y_{2}+\ldots a_{j n} y_{n}}_{=b_{j}})-t(\underbrace{a_{j 1} x_{1}+a_{j 2} x_{2}+\ldots a_{j n} x_{n}}_{=b_{j}}) \\
&= b_{j}
\end{aligned}
$$

Donc $\left(z_{1}, z_{2}, \ldots z_{n}\right)$ est une solution de $(\star)$.

Comme $t \in \mathbb{R}$ est arbitraire, on peut donc construire une infinité de solutions pour $(\star)$.

Méthode Générale et Systèmes Triangulaires

Un système triangulaire est de la forme

$$
(S)\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=y_{1} \\
0 \ldots \ldots \ldots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots a_{p n} x_{n}=y_{p}
\end{array} \Rightarrow a_{i j}=0 \text { si } i>j\right.
$$

$\textbf{Remarque :} $ Les systèmes triangulaires sont très simple à résoudre, on utilise le terme en $x_{1}$ de la première équation pour éliminer les termes en $x_{1}$ des autres équations. Ensuite, on utilise le terme en $x_{2}$ de la deuxième équation pour éliminer les termes en $x_{2}$ des équations suivantes, et ainsi de suite, jusqu’à obtenir finalement un système triangulaire, équivalent au système de départ.

$\textbf{But : }$ Etablir une méthode qui fonctionne toujours $\forall$ système $m \times n$.

$\textbf{Idée pour la suite : }$ Essayer de rendre un système le “plus triangulaire possible”.

Opérations élémentaires

eux système $(\star),(\bar{\star})(m \times n)$ sont équivalents si ils ont le même ensemble de solutions.

But : Transformer $(\star)$ en un $(\bar{\star})$ équivalent mais plus simple à étudier. Théorème 3.1

Si $(\bar{\star})$ est obtenu à partir de $(\star)$ par l’une des transformations suivantes :

$$
L_{i} \longleftrightarrow L_{j}
$$

$\textbf{Exemple 3.1}$ Soit le système :

$$
(\star) \quad\left\{\begin{aligned}
x_{1}-2 x_{2}+x_{3} & =0 \\
2 x_{2}-8 x_{3} & =8 \\
-4 x_{1}+5 x_{2}+9 x_{3} & =-9
\end{aligned}\right.
$$

$L_{3} \longleftarrow 4 L_{1}+L_{3}$

$$
\quad\left\{\begin{aligned}
x_{1}-2 x_{2}+x_{3} & =0 \\
2 x_{2}-8 x_{3} & =8 \\
-3 x_{2}+13 x_{3} & =-9
\end{aligned}\right.
$$

$L_{2} \longleftarrow \frac{1}{2} L_{2}$

$$
\quad\left\{\begin{aligned}
x_{1}-2 x_{2}+x_{3}= & 0 \\
x_{2}-4 x_{3}= & 4 \\
-3 x_{2}+13 x_{3}= & -9
\end{aligned}\right.
$$

$L_{3} \longleftarrow 3 L_{2}+L_{3}$

$$
(\star) \quad\left\{\begin{aligned}
x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0 \\
x_{2}-4 x_{3}=4 \\
x_{3}=3
\end{aligned}\right.
$$

$L_{2} \longleftarrow 4 L_{3}+L_{2}$

$L_{1} \longleftarrow-1 L_{3}+L_{1}$

$$
(\star) \quad\left\{\begin{aligned}
& x_{1}-2 x_{2}=-3 \\
& x_{2}=16 \\
& x_{3}=3
\end{aligned}\right.
$$

$L_{1} \longleftarrow 2 L_{2}+L_{1}$

Par le théorème, $(\star)(\bar{\star})$ ont le même ensemble de solution. On voit que la solution de $(\bar{\star})$ est le triplet $(29 ; 16 ; 3) \Longrightarrow$ c’est l’uniaue solution de $(\star)$.

$\textbf{Exemple 3.2}$ Soit le système

$$
(\star)\left\{\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=1 \\
-2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=4
\end{array}\right.
$$

$L_{2} \longleftarrow L_{2}+2 L_{1}$

$$
\left\{\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=1 \\
3 x_{2}-3 x_{3}=6
\end{array}\right.
$$

$L_{2} \longleftarrow \frac{1}{3} L_{2}$

$$
(\bar{\star})\left\{\begin{array}{c}
x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=1 \\
x_{2}-x_{3}=2
\end{array}\right.
$$

$\textbf{Remarque : }$ On peut choisir $x_{3}$, puis exprimer $x_{2}$ et $x_{1}$ uniquement en fonction de $x_{3}$.

Fixons $x_{3}$. Alors, de $L_{2}$ on obtient:

$$
x_{2}=2+x_{3}
$$

On remplace dans $L_{1}$ :

$$
\begin{aligned}
x_{1} & =1+2 x_{3}-x_{2} \\
& =1+2 x_{3}-\left(2+x_{3}\right) \\
& =-1+x_{3}
\end{aligned}
$$

Donc l’ensemble des solutions de $(\star)$ peut être décrit de la manière suivante :

C’est l’ensemble des triplets $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$, où

une fois choisi $x_{3}$, prendre

$$
\begin{aligned}
& x_{2}=2+x_{3} \\
& x_{1}=-1+x_{3}
\end{aligned}
$$

$\longrightarrow\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{3} \in \mathbb{R}\right.$ libre, et $\left.x_{2}=2+x_{3}, x_{1}=-1+x_{3}\right\}$

$$
x_{3} \longleftrightarrow t
$$

$\longrightarrow\{(-1+t, 2+t, t) \mid t \in \mathbb{R}$ libre $\}$

Notation Matricielle des systèmes linéaires

Toutes les opérations se font sur les coefficients $\longrightarrow$ pour gagner du temps, on évite de toujours récrire ” $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ ” en introduisant deux matrices associées à un système:

On peut présenter un système linéaire par une matrice appelée matrice associée du système où les coefficients de chaque inconnue ont été alignés verticalement dans une colonne de la matrice.

$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{1,1} x_{1}+a_{1,2} x_{2}+\cdots+a_{1, n} x_{n}=b_{1} \\
a_{2,1} x_{1}+a_{2,2} x_{2}+\cdots+a_{2, n} x_{n}=b_{2} \\
\vdots \\
\vdots \\
a_{m, 1} x_{1}+a_{m, 2} x_{2}+\cdots+a_{m, n} x_{n}=b_{m}
\end{array} \Longrightarrow\left[\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2 n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & \ldots & a_{m n}
\end{array}\right]\right.
$$

a matrice augmentée ( ou complète) d’un système

La matrice augmentée ( ou complète) d’un système s’obtient en adjoignant à la matrice associée du système la colonne contenant les constantes des seconds membres de chaque équation.

$$
\left(\begin{array}{ccccc|c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1 n} & b_{1} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2 n} & b_{2} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & a_{3 n} & b_{3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & a_{m 3} & \ldots & a_{m n} & b_{m}
\end{array}\right)
$$

Le coefficient principal d’une ligne

Dans une matrice $m \times n$ le coefficients principal d’une ligne (non-nulle) est le premier coefficient $a_{i j}$ non-nul rencontré en partant depuis la gauche.

Une matrice est échelonnée si

$\triangleright$ Une matrice est échelonnée, si :

Dans chaque ligne non-nulle, le coefficient principal est strictement à droite du coefficient principal de la ligne du dessus.

$\triangleright$ On dit qu’une matrice est échelonnée réduite si elle est échelonnée et si de plus :

Chaque pivot est le seul coefficient non nul de sa colonne (colonne pivot).

$\textbf{Exemple 4.1}$

$\textbf{Exemple 4.2}$

$\textbf{Théorème 4.1}$

$\triangleright$ Tout matrice $A \in M_{m, n}(\mathbb{R})$ peut transformer en une matrice échelonnée, à l’aide d’une suite finie d’opérations élémentaires.

(Le résultat peut dépendre du choix des opérations.)

$\triangleright$ Tout matrice $A \in M_{m, n}(\mathbb{R})$ peut transformer en une matrice échelonnée réduite, à l’aide d’une suite finie d’opérations élémentaires.

(Le résultat ne dépend pas du choix des opérations.)

$\textbf{Exemple 4.3}$ Échelonner et réduire la matrices suivante

$$
B=\left(\begin{array}{ccccc}
2 & 2 & 0 & 1 & 3 \\
3 & 1 & 2 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & -6 & 2 \\
2 & 3 & 0 & 1 & -2
\end{array}\right) \in M_{4 \times 5}(\mathbb{R})
$$

Solution :

$$
\begin{aligned}
& \stackrel{L_{4} \rightarrow-\frac{1}{21} L_{4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -6 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 17 & -5 \\
0 & 0 & 1 & -38 & 9 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7}
\end{array}\right) \stackrel{L_{3} \rightarrow L_{3}+38 L_{4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -6 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 17 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{51}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7}
\end{array}\right) \\
& \stackrel{L_{2} \rightarrow L_{2}+L_{3}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -6 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 17 & -\frac{86}{7} \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{51}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7}
\end{array}\right) \stackrel{L_{2} \rightarrow L_{2}-17 L_{4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 1 & -6 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{51}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7}
\end{array}\right) \\
& \stackrel{L_{1} \rightarrow L_{1}-L_{3}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & -6 & \frac{65}{7} \\
0 & 1 & 0 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{51}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7}
\end{array}\right) \stackrel{L_{1} \rightarrow L_{1}+6 L_{4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac{47}{7} \\
0 & 1 & 0 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -\frac{51}{7} \\
0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{7}
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

$\textbf{Exemple 4.4}$

$(\star)\left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}=5 \\ 2 x_{1}+2 x_{2}=11\end{array} \longrightarrow\left(\begin{array}{cc|c}1 & 1 & 5 \\ 2 & 2 & 11\end{array}\right) \longrightarrow\left(\begin{array}{ll|l}1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \longrightarrow(\bar{\star})\left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}=5 \\ 0=1\end{array}\right.\right.$.

Le système $(\bar{\star})$ n’ pas de solution $\Longrightarrow(\star)$ n’en a pas non plus.

$\textbf{Exemple 4.5}$

$$
\left\{\begin{aligned}
3 x_{2}-6 x_{3}+6 x_{4}+4 x_{5} & =-5 \\
3 x_{1}-7 x_{2}+8 x_{3}-5 x_{4}+8 x_{5} & =9 \\
3 x_{1}-9 x_{2}+12 x_{3}-9 x_{4}+6 x_{5} & =15
\end{aligned}\right.
$$

La matrice augmentée du système est :

$$
\begin{aligned}
& \left(\begin{array}{ccccc|c}
0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\
3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\
3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15
\end{array}\right) \longrightarrow\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\
0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$